Exercices Semaine 9

Question 1

Dans une étude sur l’opinion publique concernant un traité international, un échantillon aléatoire de \(200\) personnes a été interrogé. Parmi ces personnes, \(120\) ont déclaré être en faveur du traité. Quelle est la proportion estimée de personnes favorables au traité dénotée \(\hat{p}\)?

\(0.50\) \(0.60\) \(0.70\) \(0.80\)

Question 2

En considérant le même contexte que la question \(1\), quelle est l’erreur standard de la proportion estimée \(\hat{p}\) ?

\( \text{e.s.}(\hat{p}) \approx 0.0346\) \(\text{e.s.}(\hat{p}) \approx 0.0462\) \(\text{e.s.}(\hat{p}) \approx 0.513\) \(\text{e.s.}(\hat{p}) \approx 0.0264\)

Question 3

En considérant le contexte de la question \(1\), vous souhaitez construire un intervalle de confiance pour \(p\) basé sur \(\hat{p}\) à un niveau de confiance \(\alpha = 0.05\). Quelle est la valeur du quantile que vous devez utiliser afin de construire cet intervalle de confiance?

\(1.28\) \(1.645\) \(1.96\) \(2.58\)

Question 4

En utilisant le contexte des questions précédentes, calculez l’intervalle de confiance à \(95\%\) pour la proportion \(p\) de personnes favorables au traité, en utilisant la proportion estimée \(\hat{p}\) et l’erreur standard \(\text{e.s.}(\hat{p})\).

\([0.543, 0.657]\) \([0.532, 0.668]\) \([0.556, 0.644]\) \([0.511, 0.689]\)

Question 5

Considérons maintenant un niveau de confiance de 99% (c’est-à-dire \(\alpha=0.01\)) au lieu de \(95\%\). Quel sera l’effet sur la longueur de l’intervalle de confiance pour la proportion \(p\) de personnes favorables au traité ? La longueur de l’intervalle de confiance est donnée par la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure de l’intervalle.

La longueur de l'intervalle de confiance augmentera La longueur de l'intervalle de confiance diminuera La longueur de l'intervalle de confiance restera la même

Question 6

Vous souhaitez désormais tester l’hypothèse selon laquelle la proportion réelle de personnes favorables au traité est de \(50\%\). Quelle est la formulation correcte des hypothèses statistique pour ce test ?

\(H_0: p = 0.60\), \(H_1: p ≠ 0.60\) \(H_0: p = 0.50\), \(H_1: p ≠ 0.50\) \(H_0: p = 0.50\), \(H_1: p > 0.60\) \(H_0: p ≥ 0.50\), \(H_1: p < 0.50\)

Question 7

En utilisant les hypothèses définies précédemment, calculez la statistique de test \(z_{obs}\). On rappelle que \(\hat{p} = 0.60\), \(n = 200\), et \(p_0 = 0.50\).

\(Z \approx 2.89\) \(Z \approx 1.96\) \(Z \approx 1.28\) \(Z \approx 0.60\)

Question 8

À partir de la statistique de test calculée précédemment, déterminez la p-valeur associée au test (bilatéral).

\(0.028\) \(0.0196\) \(0.0038\) \(0.001\)

Question 9

Quelle est l’interprétation correcte d’une p-valeur de \(0.0038\) dans le contexte de ce test ?

Il y a une faible probabilité d’observer une telle valeur de \(\hat{p}=0.60\) si la vraie proportion était \(0.50\). La proportion estimée est trop éloignée de \(50\%\), donc \(H_0\) est forcément fausse. Cela signifie que \(0.38\%\) des personnes interrogées sont favorables au traité. La probabilité que \(H_0\) soit vraie est de 0.0038.

Question 10

À un niveau de signification \(\alpha = 0.05\), que concluez-vous du test précédent ?

On rejette \(H_0\) : il y a suffisamment de preuves pour conclure que la proportion réelle est différente de \(50\%\). On accepte \(H_0\) : la proportion réelle est exactement de \(50\%\). On ne rejette pas \(H_0\) : il n’y a pas suffisamment de preuves. On ne peut pas conclure : l’échantillon est trop petit.

Question 11

Considérons maintenant un test unilatéral avec les hypothèses suivantes: \(H_0: p=0.5\) et \(H_1: p<0.5\). Quelle est la p-valeur associée?

\(0.0001\) \(0.9981\) \(0.499\) \(0.028\)

Question 12

Que peut-on conclure de ce dernier test au niveau de signification \(\alpha = 0.05\)?