Examen intermédiaire - Entraînement

Question 1

Dans une famille ayant trois enfants, quelle est la probabilité d’avoir exactement deux garçons ? On suppose que la probabilité d’avoir une fille est la même que celle d’avoir un garçon.

Question 2

Supposez que \(P(A) = \frac{6}{10}\), \(P(B) = \frac{4}{10}\) et \(P(B \text{ et } A) = \frac{3}{10}\). Quelle est la probabilité \(P(A|B)\) ?

Question 3

Supposez que \(P(A) = 20\%\), quelle est la probabilité \(P(A^c)\) ?

Question 4

Un joueur participe à un jeu où il peut gagner différentes sommes d’argent avec certaines probabilités : le joueur gagne 10 CHF avec une probabilité de 0.3 ; le joueur gagne 20 CHF avec une probabilité de 0.5 ; le joueur gagne 50 CHF avec une probabilité de 0.2. Quelle est l’espérance de gain de ce joueur (en CHF) ?

Question 5

Supposez que \(\text{Var}(X) = 4\). Que vaut \(\text{Var}(X - 3)\) ?

Question 6

Supposez que 30 questions à choix multiples ont été préparées pour un examen. Combien d’examen d’exactement 12 questions à choix multiples peuvent être créés à partir des 30 questions préparées ?

\(\frac{30!}{12!}\) \(\frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19}{12!}\) \(12!\) \(\frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19}{12! \cdot 18!}\) \(\frac{(30-18)!}{12!}\)

Question 7

On lance 3 fois de suite une pièce déséquilibrée qui est telle que \(P(\text{Face}) = 0.4\) et \(P(\text{Pile}) = 0.6\). Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une “Face” parmi les 3 lancers ?

Question 8

Supposez que 20 étudiants passent un examen, chacun indépendamment l’un de l’autre. Supposez que chaque étudiant aie 1 chance sur 5 de répondre correctement à la dernière question à choix multiples de l’examen. Quelle est la probabilité que deux étudiants ou plus répondent correctement à cette dernière question à choix multiples ?

Question 9

Soit \(X\) le temps d’attente en jours pour recevoir les notes d’examen. On considère que \(X \sim U(3, 90)\). Quelle est la probabilité d’attendre au plus trois semaines (21 jours) pour recevoir les notes d’examen ?

Question 10

Une organisation internationale effectue des inspections surprises pour vérifier si un pays respecte un traité de désarmement. Le niveau moyen de matériel détecté lors d’une inspection est de 50 unités avec un écart-type de 10 unités. On suppose que la quantité détectée suit une distribution normale \(\mathcal{N}(50, 10^2)\). Quelle est la probabilité qu’une inspection détecte une quantité inférieure à 35 unités ?

Question 11

On lance un dé 4 fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir un 4 exactement une fois ?

Question 12

Les notes des étudiants à un examen sont distribuées normalement avec une moyenne de \(\mu = 6.5\) et une variance de \(\sigma^2 = 25\). Le seuil de réussite pour l’examen est défini par le 67^ème percentile de cette distribution. Quel est ce seuil ?

Question 13

Les points obtenus à un test de conduite suivent une distribution normale avec une moyenne de \(\mu = 37.23\) et une variance de \(\sigma^2 = 12.74\). Quel est le 50^ème percentile de cette distribution ?