Examen final - Entraînement

Question 1

Votre gouvernement nomme cinq organisations pour acheminer vos vaccins ; une seule est vraiment prête mais vous ne savez pas laquelle. Vous choisissez une organisation dans un premier temps. Ensuite, un comité, qui sait quelle organisation est prête, nomme trois parmi les quatre autres comme non-prêtes. Vous pouvez garder votre choix ou changer pour la dernière organisation. Quelle stratégie maximise vos chances ?

Garder le choix initial car chaque organisation a une probabilité de $1/3$ d'être prête. Changer car la dernière organisation a désormais une probabilité de $2/3$ d'être prête. Peu importe car le choix initial et la dernière organisation ont chacune désormais une probabilité de $1/2$ d'être prête. Garder le choix initial car la dernière organisation a une probabilité de $1/5$ d'être prête. Changer car la dernière organisation a désormais une probabilité de $4/5$ d'être prête.

Question 2

Soient $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ cinq variables aléatoires indépendantes telles que $(X_i) = i$ pour $i=1,,5$. On définit la somme $S = _{i=1}^5 X_i$. Quelle est $(S)$ ?

Question 3

Un organisme distribue des aides humanitaires à des pays selon trois scénarios possibles : (1) un petit pays reçoit $100 000 avec une probabilité de $0.3$ ; (2) un pays de taille moyenne reçoit $250 000 avec une probabilité de $0.5$ ; (3) un grand pays reçoit $500 000 avec une probabilité de $0.2$. L’organisme distribue des aides à $6$ pays. Soit $X$ le montant total distribué. Calculez l’espérance de $X$.

Question 4

Le taux net de scolarisation au secondaire (en %) dans différentes régions suit une loi normale $(85, 8^2)$. On souhaite identifier le seuil en dessous duquel se trouvent les $25,%$ des régions les moins performantes. Lequel des taux suivants est le plus proche de ce seuil ?

Question 5

Un chercheur souhaite estimer la durée moyenne (en heures) nécessaire pour former des employés à un nouveau logiciel. Un échantillon de $n=10$ employés est sélectionné, et la durée moyenne observée est de ${X} = 5.2$ heures, avec un écart-type de l’échantillon $s = 1.1$. Supposez que ces durées sont indépendantes et identiquement distribuées selon une loi normale. Construisez un intervalle de confiance à un niveau de confiance de $80,%$ pour la durée moyenne de la population pour cette formation.

Question 6

Dans une région agricole, la teneur en nitrate dans le sol (en mg/kg) suit une distribution normale avec une moyenne de $22$ mg/kg et une variance connue de $16$ mg²/kg². Un échantillon de $20$ parcelles est prélevé, et on mesure la teneur moyenne en nitrate dans ces parcelles. On suppose que les mesures sont indépendantes. Quelle est la probabilité que la moyenne de cet échantillon soit plus petite que $21$ mg/kg ?

Question 7

Une municipalité souhaite évaluer la satisfaction des citoyens envers un nouveau service de transport public. Un sondage aléatoire est réalisé auprès de $200$ résidents, et $130$ d’entre eux se déclarent satisfaits du service. En notant  la proportion de résidents satisfaits dans l’échantillon, quelle est l’erreur standard de  ?

Question 8

Une entreprise de téléphonie mobile souhaite estimer la proportion de ses clients satisfaits de leur service client. Un sondage est effectué auprès de $200$ clients, et $160$ d’entre eux se déclarent satisfaits. Calculez un intervalle de confiance à $90,%$ pour la proportion de la population de clients satisfaits du service client.

Question 9

Un intervalle de confiance à $90,%$ pour la moyenne d’une population est construit à partir d’un échantillon aléatoire. Quelle est l’interprétation correcte de cet intervalle ?

L'intervalle contient la moyenne de l'échantillon dans $90\,\%$ des cas. Il y a $10\,\%$ de chances que la vraie moyenne de la population appartienne à cet intervalle. L'intervalle contiendra toujours la vraie moyenne, sauf dans $90\,\%$ des cas où il est mal centré. L'intervalle couvre $90\,\%$ des valeurs prises par la variable dans la population. Aucune des autres réponses.

Question 10

Un fabricant de jouets souhaite tester si moins de $10,%$ de ses produits présentent un défaut de fabrication. Pour cela, il inspecte un échantillon de $300$ jouets, parmi lesquels $25$ sont défectueux. Formulez les hypothèses nulle et alternative correspondant à ce test statistique sur la proportion $p$ de jouets défectueux dans la production totale (population).

$H_0: p < 0.10,\quad H_{\alpha}: p = 0.10$ $H_0: p = 0.10,\quad H_{\alpha}: p > 0.10$ $H_0: p = 0.10,\quad H_{\alpha}: p \neq 0.10$ $H_0: p = 0.10,\quad H_{\alpha}: p < 0.10$ $H_0: p = 0.90,\quad H_{\alpha}: p > 0.90$

Question 11

Un fabricant de jouets souhaite tester si moins de $10,%$ de ses produits présentent un défaut de fabrication. Pour cela, il inspecte un échantillon de $300$ jouets, parmi lesquels $25$ sont défectueux. Calculez la statistique de test $z_{}$ associée à ce test d’hypothèse.

$z_{\text{obs}} \approx -1.044$ $z_{\text{obs}} \approx -2.102$ $z_{\text{obs}} \approx -1.96$ $z_{\text{obs}} \approx -1.64$ $z_{\text{obs}} \approx -3.154$

Question 12

Une organisation non gouvernementale veut tester si plus de $40,%$ des habitants d’une région donnée ont accès à l’eau potable. Pour cela, un échantillon aléatoire de $500$ foyers est sélectionné, et parmi ces foyers, $220$ déclarent avoir un accès constant à l’eau potable. Calculez la $p$-valeur associée à ce test.

$p\text{-valeur} \approx 0.036$ $p\text{-valeur} \approx 0.964$ $p\text{-valeur} \approx 0.216$ $p\text{-valeur} \approx 0.072$ $p\text{-valeur} \approx 0.135$

Question 13

Un agriculteur souhaite tester si le rendement moyen d’un nouvel engrais sur un échantillon de taille $n=15$ est supérieur à un rendement hypothétique $_0 = 80$ unités, en utilisant un $t$-test unilatéral. Le niveau de signification choisi est $= 0.01$. Quelle est la valeur critique à considérer ?

Question 14

Deux pays européens souhaitent tester si leurs dépenses moyennes mensuelles en éducation par foyer diffèrent. Les données proviennent de deux échantillons indépendants, et on suppose que les dépenses suivent une distribution identique au sein de chaque pays. Dans le premier pays, un échantillon de $n_1 = 100$ foyers présente une dépense moyenne de ${X}_1 = 310$ € avec un écart-type de $s_1 = 85$. Dans le second pays, un échantillon de $n_2 = 110$ foyers montre une dépense moyenne de ${X}_2 = 290$ € avec un écart-type de $s_2 = 70$. En calculant la statistique de test pour un test-$z$ bilatéral à deux échantillons, que peut-on conclure ?

On rejette $H_0$ car la $p$-valeur est inférieure à $\alpha = 0.05$. On rejette $H_0$ car la $p$-valeur est supérieure à $\alpha = 0.05$. Le test-$z$ n'est pas valide car les tailles d'échantillons sont différentes. Le test-$z$ n'est applicable que si les échantillons sont de mêmes tailles. On ne rejette pas $H_0$ car la $p$-valeur est supérieure à $\alpha = 0.05$.

Question 15

Un scientifique teste l’effet d’un nouveau médicament contre l’hypertension. Il réalise une étude où $50$ personnes reçoivent le médicament, et $50$ autres reçoivent un placebo. Il effectue un test-$z$ à deux échantillons pour comparer les moyennes de pression artérielle. La $p$-valeur obtenue est de $0.11$. Il ne peut donc pas rejeter l’hypothèse nulle au niveau de signification de $5,%$.

Il décide alors de refaire la même expérience avec de nouveaux échantillons de même taille, autant de fois que nécessaire, jusqu’à obtenir une $p$-valeur inférieure à $0.05$.

Est-ce une bonne démarche scientifique ?

Oui, car cela augmente les chances de détecter un effet réel. Oui, car cela permet d'éliminer les fluctuations aléatoires liées aux premiers échantillons. Non, car répéter le test jusqu'à obtenir une $p$-valeur significative augmente la probabilité de rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie. Non, car il aurait dû utiliser un test-$t$ au lieu d'un test-$z$. Non, car il faut toujours fixer une taille d'échantillon plus grande que $60$ pour avoir des résultats fiables.

Question 16

Une organisation s’intéresse au taux moyen de satisfaction des ONG envers deux protocoles de négociation (Protocole 1 vs Protocole 2). Soient les moyennes ${X}_1 = 72,%$, ${X}_2 = 68,%$, les tailles d’échantillons $n_1 = 250$, $n_2 = 300$ et les écarts-types de chaque population $s_1 = 8,%$, $s_2 = 7,%$. Vous recevez l’output suivant :

    Two-sample z-Test

data:  xbar1 and xbar2
z = 3.536, p-value = 0.0002
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
99 percent confidence interval:
 1.85      Inf
sample estimates:
difference in means
                  4

Laquelle des affirmations suivantes est correcte ? (une seule est correcte)

Au seuil de $1\,\%$, on rejette $H_0$ en faveur de $H_a$ : le Protocole 1 est significativement meilleur que le Protocole 2. La $p$-valeur indique qu'on ne peut pas conclure avec $H_a : \mu_1 > \mu_2$. L'intervalle de confiance à $99\,\%$ contient $0$, donc il n'y a pas de différence significative. Le test devrait être bilatéral pour être valide à $5\,\%$. Au seuil de $0.1\,\%$, on rejette $H_a$ en faveur de $H_0$ : le Protocole 1 est significativement le même que le Protocole 2.

Question 17

Un institut de sondage souhaite estimer la durée moyenne d’écoute quotidienne de podcasts parmi les étudiant-es universitaires suisses. Il veut construire un intervalle de confiance à $95,%$ pour cette moyenne, avec une marge d’erreur maximale de $5$ minutes.

Des études passées indiquent que l’écart-type de cette durée est d’environ $20$ minutes.

Quelle taille minimale d’échantillon l’institut doit-il prévoir pour respecter cette précision ?