Exercices Semaine 8

Question 1

Les scores d’un examen de physique sont distribués normalement avec une espérance de \(80\) et un écart-type de \(5\). Si nous sélectionnons aléatoirement \(20\) étudiants de la classe, leur score moyen est de \(75\). Laquelle de ces propositions est correcte?

\(80\) et \(5\) sont des paramètres. \(75\) est une statistique \(80\) et \(5\) sont des statistiques, \(75\) est un paramètre \(80\) et \(75\) sont des statistiques, \(5\) est un paramètre \(5\) et \(75\) sont des statistiques, \(80\) est un paramètre

Question 2

Si la taille de l’échantillon \(n\) augmente, quelle affirmation est correcte à propos de \(\bar{X}\), l’estimateur de l’espérance \(\mu\)?

L'estimateur \(\bar{X}\) devient plus variable L'estimateur \(\bar{X}\) devient moins variable L'estimateur \(\bar{X}\) devient plus grand L'estimateur \(\bar{X}\) devient plus petit La variance de l'estimateur \(\bar{X}\) n'est pas affectée

Question 3

On considère une variable aléatoire \(X\) distribuée normalement avec une espérance \(\mu = 50\) et une variance \(\sigma^2 = 25\). On considère un échantillon de taille \(n = 100\). Quelle est la variance de \(\bar{X}\), la moyenne de l’échantillon ?

Question 4

On considère une variable aléatoire \(X\) distribuée normalement avec une espérance \(\mu = 50\) et une variance \(\sigma^2 = 25\). Maintenant, on considère un échantillon de taille \(n = 100\). Quelle est la probabilité que la moyenne de l’échantillon \(\bar{X}\) soit supérieure à 51 ?

Question 5

On considère une variable aléatoire \(X\) distribuée normalement avec une espérance \(\mu = 100\) et une variance \(\sigma^2 = 16\). Maintenant, on considère un échantillon de taille \(n = 64\). Quelle est la probabilité que la moyenne de l’échantillon \(\bar{X}\) soit inférieure à 99 ?

Question 6

On considère l’échantillon suivant: \(\{1.5, 2.6, 3.9, 5.4,7.2, 8.35\}\). Calculez la moyenne \(\bar{X}\) et l’écart type \(s\) de cet ensemble de données.

\(\bar{X} = 4.825, s \approx 2.66 \) \(\bar{X} = 2.825, s \approx 4.66 \) \(\bar{X} = 10.925, s \approx 3.56 \) \(\bar{X} = 1.525, s \approx 2.21 \)

Question 7

En utilisant la moyenne \(\bar{X}\) et l’écart type \(s\) que vous avez calculés dans l’exercice précédent, déterminez l’erreur standard de la moyenne \(\frac{s}{\sqrt{n}}\) pour l’échantillon \(\{1.5, 2.6, 3.9, 5.4,7.2, 8.35\}\).

\(e.s.(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = 0.0478\) \(e.s.(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.084109\) \(e.s.(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.05219\) \(e.s.(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = 3.12643\)

Tir à 3 points de Stephen Curry

On a les données suivantes sur les réussites au tir à trois points de Stephen Curry (données réelles avril 2025) :

Date	Adversaire	Tentatives à 3 points	Réussites à 3 points
1er avril 2025	Memphis Grizzlies	20	12
3 avril 2025	Los Angeles Lakers	11	4
4 avril 2025	Denver Nuggets	15	7
6 avril 2025	Houston Rockets	8	1

Question 8

Basé sur ces données, quelle est la proportion de réussites à 3 points de Stephen Curry ?

\(0.3790\) \(0.4444\) \(0.3890\) \(24\)

Question 9

Basé sur ces données, quelle est l'erreur standard de la proportion de réussites à 3 points de Stephen Curry ?

\(0.0046\) \(0.4969\) \(0.0676\) \(0.0663\)

Question 10

Quelle affirmation est correcte à propose du Théorème Centrale Limite (TCL) dans ce cas ?

Le TCL s’applique car les pourcentages proviennent d’un joueur professionnel, donc ils suivent une loi normale. Le TCL ne peut pas s’appliquer ici car les tirs à 3 points ne suivent pas une loi normale. Le TCL s’applique dès qu’on connaît la moyenne et la variance des taux de réussite, quelle que soit la taille de l’échantillon. Le TCL s’applique car l'échantillon est suffisamment grand pour justifier l’approximation normale. Le TCL permet de conclure que la proportion est égale à la probabilité de réussite à 3 points.

Question 11

Supposez que chaque tir à trois points de Stephen Curry ait une probabilité de succès de \(p=0.397\). En supposant que le TCL s’applique, quelle est la distribution approximative de \(\hat{p}\) ?

\(\hat{p}\sim\mathcal{N}(0.4444, 0.0676^2)\) \(\hat{p}\sim\text{Bin}(54, 0.397)\) \(\hat{p}\sim\mathcal{N}(0.397, 0.397^2)\) \(\hat{p}\sim\mathcal{U}(0, 1)\) \(\hat{p}\sim\mathcal{N}(0.397, 0.0666^2)\)